―课内知识补充

球面最短距离的求法公式及其推导。

无论是航空、航海，都要求航线最短，这最短的距离就称为球面距离。具体来说，球面距AB是指过球面A、B和球心O的大圆劣弧长AB。（设计动画，表明劣弧长<，也小于纬度圈（O1上）劣弧！）
其中图1中A、B在度纬度圈上，（圆心为O1），并分别在经度上，AB两点的经度差为。
的算法公式

其中若分别是东经和西经的度数时，视其中一个的度数为“―”。如时，可令东经为+，西经为-，则，……

（设计动画图示，并醒目表出公式）

在图2中，A、B两点分居同半球不同纬度，A、C两点分居两半球不同纬度，经度差为。

（设计动画表示，注意画出A、B所在纬度圈、经度圈及球大圆！）

在这三种不同情况下，所求AB两点的球面距离，便是要求过AB两点的球大圆上劣弧的长。

在平面几何中，我们知道要求劣弧，只需求出弦AB所对的圆心角∠AOB（它不超过180°），在这里，就是只要求出AB弦关于球心的张角=∠AOB即可，其范围仍限定在0°～180°，即，并称此角为球心角（单位是弧度）。

画出动画表明哪个是球心角=∠AOB，在图1和图2之中都要说明。

为了计算长，我们只需求出球心角=∠AOB即可。为了简便，我们把有关球面的直观图抽象为图3、图4、图5表示的关于四面体的直观图。

在图3中，O1是度纬度圈的中心，，O是球心，由知，（其中R是地球半径）是纬度圈半径；∠AO1B=。设C是AB中点，∠AOB=球心角，连O1C和OC后，由Rt知,和

因而得到即①

从而

即可求得球面距离d==2R（动画对比图1、图3）

在图4中，r=OA，r=OB 分别表示纬度圈和纬度圈的半径。O是球心，OA=OB=地球半径R。AB是弦长，∠AOB表示球心角。这里、同在一半球。（动画对比图2、图4）

同理，图5表示A、C分居两半球的情况，其中O1A，O2C是纬度圈半径，球心角=∠AOC。（动画对比图2与图5的相关部分）

怎样求角呢？可能有同学知道三面角的余弦定理，也有人称此定理为三射线定理，内容是：bmp_?

在三面角O―ABC中，设∠AOB=，∠BOC=，∠AOC=，且二面角A―OC―B的平面角为，则有 (*)

这定理其实就是立体几何必修本总复习题中的第3题的一般形式。在此复习题中，二面角A―OC―B是直二面角，因此三面角余弦定理便成了

关于三面角余弦定理的证明和应用，请参看下一期第二课堂。现在我们先利用它来求球心角。（动画显示三个面角和二面角平面角）

（Ⅰ）在图4的情形。∵A、B在同半球，

∠AOO1=

∠

而二面角A―O1O―B的大小恰为A、B所在经度差，因而由三面角余弦定理*，即得

②

（动画显示推导过程，特别标出∠AOO1和∠BOO1与关系）

（Ⅱ）在图5的情形，这时∵A、C分居两半球，如图可见=180-（90-）（动画显示∠COO1，∠COO2，!）

仍由三面角余弦定理，类似（Ⅰ）的分析，有

.③

由（Ⅰ）（Ⅱ）就得出了不同情况下球心角的求法。再由公式：d=B=R(当取弧度时)，即可得出球面距离。

特别是当时，还可由公式②得出公式

④

对于没有学过三面角余弦定理的同学，也可以利用立体几何课本内异面直线上两点间的距离公式，直接得到

应当指出，在这里应理解作射线O1A与射线O2B的夹角，而非课本中的异面直线O1A与O2B的夹角，这样射线间的夹角取值范围是0°～180°之间而非锐角或直角，因而原公式中的正、负号可统一为负号。

再利用余弦定理，在△AOB中，就可得出

即公式②.

在图5的情况，仿上面推导，可得公式③：

注：异面直线上两点AB间距离公式为：

,

其中m、n分别为A、B两点到公垂线的距离，d是异面直线间的距离，而是异面直线间的夹角。（动画图示此公式，及m、n、d的关系图6）bmp_6

最后我们利用这几个公式，求解一些求球面距离的例子。

例1.地球上两点A、B的坐标分别是（西经10°，北纬45°）和（东经、赤道），R是地球半径，请用R表示A、B两点间的球面距离。

解：这里经度差，由公式②得

故A、B两点的球面距离

（动画图示题设及所求距离的弧段劣弧）

例2.地球上A、B两点都在北纬45°圈上，A、B两点的球面距离是，A在东经30°，求B点的经度。

解：由题设知球心关于A、B张角为，利用公式④得

解得

.

故B点的经度为：30°+90°=120°（东经）或30°-90°=-60°，即西经60°。

（动画题设并图示B点可能有两个经度值）

例3.求北纬75°圈上，东经40°和东经100°的A、B两点间的球面距离。

解法1：由公式④得

解法2：由公式①得

∴A、B两点的球面距离

容易验证可见两种解法结论是一致的。

例4.已知A、B两点的坐标分别是东经130°，北纬30°和西经170°，南纬30°。求A、B两点的球面距离。

解：这里设由公式③得

∴A、B两点距离

（对每道例题，都取相应的球面动画给予直观认识。）